介護保険料は、40歳から64歳までは加入している医療保険の保険料の一部として一緒に納めていただくことになりますが、この質問の場合、4月から誕生月の前月9月までの月割りで計算された6か月分が国民健康保険税として併せて徴収される分となります。

今回初めて通知が届いた介護保険料は、10月以降の6か月分が月割りで計算され、賦課されていますので、二重払いにはなりません。

他の医療保険に加入している場合は、加入している医療保険にお問い合わせください。